Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3 x^{2} + 24 x + 48}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 24 x + 48$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 24 x + 48}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $24 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$\frac{3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (8 x)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} + 8 x + 16)}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{3 (x^{2} + 8 x + 4^{2})}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 2 x^{2}, x^{2}$

Schritt 2.2

Since $x^{2}, 2 x^{2}, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{2}, x^{2}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.7

Das kgV von $1, 2, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 2.8

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.9

Das kgV von $x^{2}, x^{2}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 2.11

Das kgV von $x^{2}, 2 x^{2}, x^{2}$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ mit $2 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ mit $2 x^{2}$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $2 \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 {(x + 4)}^{2})}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 {(x + 4)}^{2}}{x^{2}} x^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6 {(x + 4)}^{2} + \frac{x - 6}{2 x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 {(x + 4)}^{2} + 2 \frac{x - 6}{2 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$6 {(x + 4)}^{2} + 2 \frac{x - 6}{2 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 {(x + 4)}^{2} + 2 \frac{x - 6}{2 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$6 {(x + 4)}^{2} + \frac{x - 6}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 {(x + 4)}^{2} + \frac{x - 6}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = \frac{2}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = \frac{2}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 = 2$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $6 {(x + 4)}^{2} + x - 6 - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$6 ((x + 4) (x + 4)) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$6 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$6 (x^{2} + 8 x + 16) + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 6 (8 x) + 6 \cdot 16 + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$6 x^{2} + 48 x + 6 \cdot 16 + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $16$ .

$6 x^{2} + 48 x + 96 + x - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $48 x$ und $x$ .

$6 x^{2} + 49 x + 96 - 6 - 2 = 0$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $6$ von $96$ .

$6 x^{2} + 49 x + 90 - 2 = 0$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $2$ von $90$ .

$6 x^{2} + 49 x + 88 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 88 = 528$ und deren Summe gleich $b = 49$ ist.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $49$ aus $49 x$ heraus.

$6 x^{2} + 49 (x) + 88 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $49$ um als $16$ plus $33$

$6 x^{2} + (16 + 33) x + 88 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 16 x + 33 x + 88 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 16 x) + 33 x + 88 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x + 8) + 11 (3 x + 8) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 8$ .

$(3 x + 8) (2 x + 11) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 8 = 0$

$2 x + 11 = 0$

Schritt 4.5

Setze $3 x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $3 x + 8$ gleich $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $3 x + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 8$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{3}$

Schritt 4.6

Setze $2 x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $2 x + 11$ gleich $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $2 x + 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 11$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 11$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 11$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Schritt 4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Schritt 4.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 8) (2 x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{8}{3}, - \frac{11}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{8}{3}, - \frac{11}{2}$

Dezimalform:

$x = - 2.\overline{6}, - 5.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 2 \frac{2}{3}, - 5 \frac{1}{2}$