Elementarmathematik Beispiele

$\frac{20}{1 + e^{- x}} = 2$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + e^{- x}$ .

$\frac{20}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 2 (1 + e^{- x})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{- x}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = 2 (1 + e^{- x})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$20 = 2 (1 + e^{- x})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 (1 + e^{- x})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$20 = 2 \cdot 1 + 2 e^{- x}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$20 = 2 + 2 e^{- x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 + 2 e^{- x} = 20$ um.

$2 + 2 e^{- x} = 20$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 e^{- x} = 20 - 2$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2$ von $20$ .

$2 e^{- x} = 18$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{- x} = 18$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{- x} = 18$ durch $2$ .

$\frac{2 e^{- x}}{2} = \frac{18}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{- x}}{2} = \frac{18}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$e^{- x} = \frac{18}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $18$ durch $2$ .

$e^{- x} = 9$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (9)$

Schritt 3.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (e) = \ln (9)$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (9)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x = \ln (9)$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (9)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = \ln (9)$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (9)}{- 1}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (9)}{- 1}$

Schritt 3.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (9)}{- 1}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (9)}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (9)$

Schritt 3.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (9)$ als $- \ln (9)$ um.

$x = - \ln (9)$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \ln (9)$

Dezimalform:

$x = - 2.19722457 \dots$