Elementarmathematik Beispiele

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} - e^{- x}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.4

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.5

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 3.7

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.7.1

Subtrahiere $3 e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Schritt 3.7.2

Addiere $3 e^{- x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $3 e^{x}$ von $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Schritt 3.7.4

Addiere $e^{- x}$ und $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Schritt 3.8

Bringe $- 2 e^{x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Schritt 3.9

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Schritt 3.10

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.10.1

Schreibe $\ln (4 e^{- x})$ als $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ um.

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Schritt 3.10.2

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Schritt 3.10.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Schritt 3.10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Schritt 3.11

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.11.1

Schreibe $\ln (2 e^{x})$ als $\ln (2) + \ln (e^{x})$ um.

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Schritt 3.11.2

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Schritt 3.11.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Schritt 3.11.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Schritt 3.12

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Schritt 3.13

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Schritt 3.14

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Schritt 3.15

Addiere $x$ und $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Schritt 3.16

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x = \ln (2)$

Schritt 3.17

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \ln (2)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.17.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \ln (2)$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Schritt 3.17.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.17.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.17.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Schritt 3.17.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.34657359 \dots$