Elementarmathematik Beispiele

${(2.221)}^{x} = (\frac{1}{2}) ({0.75}^{x + 2})$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({2.221}^{x}) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({2.221}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$ als $\ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$ um.

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (\frac{1}{2})$ als $\ln (1) - \ln (2)$ um.

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Schritt 5

Zerlege $\ln ({0.75}^{x + 2})$ durch Herausziehen von $x + 2$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Schritt 6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (2.221) = 0 - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Schritt 7

Subtrahiere $\ln (2)$ von $0$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + 2 \ln (0.75)$

Schritt 8.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (0.75)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln ({0.75}^{2})$

Schritt 8.1.1.3

Potenziere $0.75$ mit $2$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln (0.5625)$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2.221) + \ln (2) - x \ln (0.75) - \ln (0.5625) = 0$

Schritt 8.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (\frac{2}{0.5625}) = 0$

Schritt 8.4

Dividiere $2$ durch $0.5625$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (3.\overline{5}) = 0$

Schritt 8.5

Subtrahiere $\ln (3.\overline{5})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Schritt 8.6

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2.221) - x \ln (0.75)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2.221)$ heraus.

$x (\ln (2.221)) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (0.75)$ heraus.

$x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Schritt 8.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75))$ heraus.

$x (\ln (2.221) - 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Schritt 8.7

Schreibe $- 1 \ln (0.75)$ als $- \ln (0.75)$ um.

$x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Schritt 8.8

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ durch $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ durch $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Schritt 8.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Schritt 8.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Schritt 8.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Dezimalform:

$x = - 1.16844605 \dots$