Elementarmathematik Beispiele

${(0.25)}^{5} = 4^{\frac{5 x - 3}{3}} {(0.125)}^{6 x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$ um.

$4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x} = {0.25}^{5}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}} \cdot {0.125}^{6 x})$ als $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x})$ um.

$\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}}) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (4^{\frac{5 x - 3}{3}})$ durch Herausziehen von $\frac{5 x - 3}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + \ln ({0.125}^{6 x}) = \ln ({0.25}^{5})$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln ({0.125}^{6 x})$ durch Herausziehen von $6 x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{5 x - 3}{3} \ln (4) + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{5 x - 3}{3}$ und $\ln (4)$ .

$\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren in $\frac{(5 x - 3) \ln (4)}{3} + 6 x \ln (0.125)$ um.

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln ({0.25}^{5})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Potenziere $0.25$ mit $5$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) = \ln (0.00097656)$

Schritt 6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1

Um $6 x \ln (0.125)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + 6 x \ln (0.125) \cdot \frac{3}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 6.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $6 x \ln (0.125)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (4) (5 x - 3)}{3} + \frac{6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (4) (5 x - 3) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (4) (5 x) + \ln (4) \cdot - 3 + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 6.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $\ln (4)$ .

$\frac{\ln (4) \cdot (5 x) - 3 \cdot \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 6.3.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\ln (4)$ .

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 6 x \ln (0.125) \cdot 3}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{5 \ln (4) x - 3 \ln (4) + 18 x \ln (0.125)}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 6.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} = \ln (0.00097656)$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4)}{3} \cdot 3 = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x \ln (4) + 18 x \ln (0.125) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Schritt 8.1.1.2

Stelle $5 x \ln (4)$ und $18 x \ln (0.125)$ um.

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = \ln (0.00097656) \cdot 3$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (0.00097656)$ .

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) - 3 \ln (4) = 3 \ln (0.00097656)$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Addiere $3 \ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x$ aus $18 x \ln (0.125) + 5 x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $18 x \ln (0.125)$ heraus.

$x (18 \ln (0.125)) + 5 x \ln (4) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x \ln (4)$ heraus.

$x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (18 \ln (0.125)) + x (5 \ln (4))$ heraus.

$x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ durch $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)) = 3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ durch $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ .

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (18 \ln (0.125) + 5 \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 \ln (0.00097656)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)} + \frac{3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Schritt 9.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ heraus.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (0.00097656)$ heraus.

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Schritt 9.3.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Schritt 9.3.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (0.00097656) + 3 \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 (\ln (0.00097656) + \ln (4))}{18 \ln (0.125) + 5 \ln (4)}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{54}$