Elementarmathematik Beispiele

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $2^{2 x}$ als ${(2^{x})}^{2}$ um.

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = 2^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $2^{x}$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 u$ heraus.

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $1$ plus $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $2^{x}$ .

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

Schritt 3

Setze $3 \cdot 2^{x} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 \cdot 2^{x} + 1$ gleich $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

Schritt 3.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 1)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.2.4

Es gibt keine Lösung für $3 \cdot 2^{x} = - 1$

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $2^{x} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2^{x} - 4$ gleich $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2^{x} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = 4$

Schritt 4.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{2}$

Schritt 4.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2$