Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + x - \frac{15}{4} = 0$

Schritt 1

Addiere $\frac{15}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x = \frac{15}{4}$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + x + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{15}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$x^{2} + x + \frac{1^{2}}{2^{2}} = \frac{15}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + x + \frac{1}{2^{2}} = \frac{15}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{15}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{15}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{15}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{15}{4} + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{15}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{15 + 1}{4}$

Schritt 4.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Addiere $15$ und $1$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Dividiere $16$ durch $4$ .

$x^{2} + x + \frac{1}{4} = 4$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 4$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{1}{2} = \pm 2$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{1}{2} = 2$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 6.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 - 1}{2}$

Schritt 6.3.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{1}{2} = - 2$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.4.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 6.3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.4.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 - 1}{2}$

Schritt 6.3.4.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 6.3.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{5}{2}$