Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = 8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45$

Schritt 1

Setze $8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45$ gleich $0$ .

$8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$x^{3} (8 x^{2}) + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $18 x^{4}$ heraus.

$x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x) - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x) + x^{3} \cdot - 5 - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x)$ heraus.

$x^{3} (8 x^{2} + 18 x) + x^{3} \cdot - 5 - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (8 x^{2} + 18 x) + x^{3} \cdot - 5$ heraus.

$x^{3} (8 x^{2} + 18 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot - 5 = - 40$ und deren Summe gleich $b = 18$ ist.

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Schritt 2.1.3.1.1.1

Faktorisiere $18$ aus $18 x$ heraus.

$x^{3} (8 x^{2} + 18 (x) - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Schreibe $18$ um als $- 2$ plus $20$

$x^{3} (8 x^{2} + (- 2 + 20) x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (8 x^{2} - 2 x + 20 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} ((8 x^{2} - 2 x) + 20 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (2 x (4 x - 1) + 5 (4 x - 1)) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$x^{3} ((4 x - 1) (2 x + 5)) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $- 72 x^{2} - 162 x + 45$ heraus.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $- 72 x^{2}$ heraus.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) - 162 x + 45 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Faktorisiere $9$ aus $- 162 x$ heraus.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x) + 45 = 0$

Schritt 2.1.4.3

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x) + 9 (5) = 0$

Schritt 2.1.4.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x)$ heraus.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x) + 9 (5) = 0$

Schritt 2.1.4.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (- 8 x^{2} - 18 x) + 9 (5)$ heraus.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 8 \cdot 5 = - 40$ und deren Summe gleich $b = - 18$ ist.

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Schritt 2.1.5.1.1.1

Faktorisiere $- 18$ aus $- 18 x$ heraus.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.5.1.1.2

Schreibe $- 18$ um als $2$ plus $- 20$

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} + (2 - 20) x + 5) = 0$

Schritt 2.1.5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} + 2 x - 20 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 ((- 8 x^{2} + 2 x) - 20 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (2 x (- 4 x + 1) + 5 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 4 x + 1$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 ((- 4 x + 1) (2 x + 5)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $2 x + 5$ aus $x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $2 x + 5$ aus $x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5)$ heraus.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $2 x + 5$ aus $9 (- 4 x + 1) (2 x + 5)$ heraus.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + (2 x + 5) (9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.6.3

Faktorisiere $2 x + 5$ aus $(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + (2 x + 5) (9 (- 4 x + 1))$ heraus.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1) + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x + 5) (4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$(2 x + 5) (4 x^{3} x - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$(2 x + 5) (4 (x \cdot x^{3}) - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 x + 5) (4 (x \cdot x^{3}) - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x + 5) (4 x^{1 + 3} - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

$(2 x + 5) (4 x^{4} - 1 x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} + 9 (- 4 x) + 9 \cdot 1) = 0$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9 \cdot 1) = 0$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Schreibe $4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.14.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.14.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x + 5) ((4 x^{4} - x^{3}) - 36 x + 9) = 0$

Schritt 2.1.14.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1) - 9 (4 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.14.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) ((4 x - 1) (x^{3} - 9)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 5) (4 x - 1) (x^{3} - 9) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{3} - 9 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 2.4

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze $x^{3} - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{3} - 9$ gleich $0$ .

$x^{3} - 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{3} - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 9$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{9}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 5) (4 x - 1) (x^{3} - 9) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Dezimalform:

$x = - 2.5, 0.25, 2.08008382 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 2 \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Schritt 4