Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} + x^{2} - 1$

Schritt 1

Setze $3 x^{4} + x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$3 x^{4} + x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$3 u^{2} + u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $1$ und $12$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 - \sqrt{13}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Schritt 2.6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0.43425854$

${(x^{2})}^{1} = - 0.76759187$

Schritt 2.7

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0.43425854$

Schritt 2.8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.43425854}$

Schritt 2.8.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.8.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.43425854}$

Schritt 2.8.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.43425854}$

Schritt 2.8.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.43425854}, - \sqrt{0.43425854}$

Schritt 2.9

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 0.76759187$

Schritt 2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 0.76759187$

Schritt 2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 0.76759187}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 0.76759187}$ .

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Schritt 2.10.3.1

Schreibe $- 0.76759187$ als $- 1 (0.76759187)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.76759187)}$

Schritt 2.10.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (0.76759187)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.76759187}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.76759187}$

Schritt 2.10.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{0.76759187}$

Schritt 2.10.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{0.76759187}$

Schritt 2.10.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{0.76759187}$

Schritt 2.10.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{0.76759187}, - i \sqrt{0.76759187}$

Schritt 2.11

Die Lösung von $3 x^{4} + x^{2} - 1 = 0$ ist $x = \sqrt{0.43425854}, - \sqrt{0.43425854}, i \sqrt{0.76759187}, - i \sqrt{0.76759187}$ .

$x = \sqrt{0.43425854}, - \sqrt{0.43425854}, i \sqrt{0.76759187}, - i \sqrt{0.76759187}$

Schritt 3