Elementarmathematik Beispiele

$x - \sqrt{10 x - 25} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $5$ aus $10 x - 25$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x$ heraus.

$x - \sqrt{5 (2 x) - 25} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 25$ heraus.

$x - \sqrt{5 (2 x) + 5 (- 5)} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 x) + 5 (- 5)$ heraus.

$x - \sqrt{5 (2 x - 5)} = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{5 (2 x - 5)} = - x$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{5 (2 x - 5)})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 (2 x - 5)}$ als ${(5 (2 x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(5 (2 x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(- {(5 (2 x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(- {(5 (2 x) + 5 \cdot - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

${(- {(10 x + 5 \cdot - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

${(- {(10 x - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende die Produktregel auf $- {(10 x - 25)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(10 x - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(10 x - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere ${({(10 x - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(10 x - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(10 x - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 x - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(10 x - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(10 x - 25)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache.

$10 x - 25 = {(- x)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$10 x - 25 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$10 x - 25 = 1 x^{2}$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$10 x - 25 = x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x - 25 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.2.1.1.1

Bewege $- 25$ .

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Stelle $10 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 10 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 5.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ heraus.

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere ${(x - 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 5.5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$