Elementarmathematik Beispiele

$3^{x - 7} = \frac{1}{27}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{27}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x - 7} - \frac{1}{27} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $3^{x - 7} - \frac{1}{27}$ .

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Schritt 2.1

Um $3^{x - 7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$3^{x - 7} \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27} = 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $3^{x - 7}$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3^{x - 7} \cdot 27}{27} - \frac{1}{27} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{x - 7} \cdot 27 - 1}{27} = 0$

Schritt 2.4

Multipliziere $3^{x - 7} \cdot 27$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{3^{x - 7} \cdot 3^{3} - 1}{27} = 0$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{x - 7 + 3} - 1}{27} = 0$

Schritt 2.4.3

Addiere $- 7$ und $3$ .

$\frac{3^{x - 4} - 1}{27} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$3^{x - 4} - 1 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x - 4} = 1$

Schritt 4.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x - 4}) = \ln (1)$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (3^{x - 4})$ durch Herausziehen von $x - 4$ aus dem Logarithmus.

$(x - 4) \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) - 4 \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 4.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (3) - 4 \ln (3) = 0$

Schritt 4.6

Addiere $4 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) = 4 \ln (3)$

Schritt 4.7

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 4 \ln (3)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 4 \ln (3)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.7.3.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$x = 4$