Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} = 12$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 12$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 12$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{12}{5}}$ als $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Dezimalform:

$x = 1.54919333 \dots, - 1.54919333 \dots$

Schritt 7