Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + x}}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + x}}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + x}} = 0$ um.

$\sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + x}} = 0$

Schritt 1.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + x}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + x}}$ als ${(9 + \sqrt{1 + x})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(9 + \sqrt{1 + x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache ${({(9 + \sqrt{1 + x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 + \sqrt{1 + x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + \sqrt{1 + x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 + \sqrt{1 + x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 + \sqrt{1 + x})}^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$9 + \sqrt{1 + x} = 0^{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 + \sqrt{1 + x} = 0$

Schritt 1.2.4

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 + x} = - 9$

Schritt 1.2.5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + x)}^{1} = {(- 9)}^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Vereinfache.

$1 + x = {(- 9)}^{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$1 + x = 81$

Schritt 1.2.7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.7.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 81 - 1$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$x = 80$

Schritt 1.2.8

Schließe die Lösungen aus, die $0 = \sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + x}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + 0}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{9 + \sqrt{1 + 0}}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

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Schritt 2.2.2.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$y = \sqrt[3]{9 + \sqrt{1}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \sqrt[3]{9 + 1}$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $9$ und $1$ .

$y = \sqrt[3]{10}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \sqrt[3]{10})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \sqrt[3]{10})$

Schritt 4