Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - x - 3$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 1

Berechne den Zähler in $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

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Schritt 1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3$

Schritt 1.2

Ersetze die Funktionsbezeichner in $f (x + h) - f (x)$ durch die tatsächlichen Funktionen.

$(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3

Vereinfache $(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$ .

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$2 ((x + h) (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x (x + h) + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 1.3.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Schritt 1.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2}) - - x - - 3$

Schritt 1.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} - - x - - 3$

Schritt 1.3.1.8.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 1.3.1.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + 1 x - - 3$

Schritt 1.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x - - 3$

Schritt 1.3.1.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$ .

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Schritt 1.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + 0 + x + 3$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3$ und $0$ .

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + x + 3$

Schritt 1.3.2.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 0 + 3$

Schritt 1.3.2.4

Addiere $4 h x + 2 h^{2} - h - 3$ und $0$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 3$

Schritt 1.3.2.5

Addiere $- 3$ und $3$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h + 0$

Schritt 1.3.2.6

Addiere $4 h x + 2 h^{2} - h$ und $0$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h$

Schritt 2

Forme $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ um.

$\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$

Schritt 3

Vereinfache $\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $h$ aus $4 h x + 2 h^{2} - h$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $h$ aus $4 h x$ heraus.

$\frac{h (4 x) + 2 h^{2} - h}{h}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h^{2}$ heraus.

$\frac{h (4 x) + h (2 h) - h}{h}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$\frac{h (4 x) + h (2 h) + h \cdot - 1}{h}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $h$ aus $h (4 x) + h (2 h)$ heraus.

$\frac{h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1}{h}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $h$ aus $h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1$ heraus.

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $4 x + 2 h - 1$ durch $1$ .

$4 x + 2 h - 1$

Schritt 3.3

Stelle $4 x$ und $2 h$ um.

$2 h + 4 x - 1$