Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{4} + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 10 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 + 10 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 10 - 15 \cdot 1 - 40 \cdot 1 + 44$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$1 + 10 - 15 - 40 \cdot 1 + 44$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 40$ mit $1$ .

$1 + 10 - 15 - 40 + 44$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $10$ .

$11 - 15 - 40 + 44$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $15$ von $11$ .

$- 4 - 40 + 44$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $40$ von $- 4$ .

$- 44 + 44$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 44$ und $44$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(10)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$	$11$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(11)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 40)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 44)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 44)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(44)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 11 x^{2} + (- 4) x - 44$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 11 x^{2} - 4 x - 44$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) (x^{3} + 11 x^{2}) - 4 x - 44$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) + x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

$(x - 1) x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 11$ .

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 4)$

Schritt 9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 2^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 1) + (x + 11) ((x + 2) (x - 2))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) + (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Gruppiere die Terme um.

$10 x^{3} - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3} - 40 x$ heraus.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3}$ heraus.

$10 x (x^{2}) - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $10 x$ aus $- 40 x$ heraus.

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.2.3

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x (x^{2}) + 10 x (- 4)$ heraus.

$10 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$10 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.4

Faktorisiere.

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Schritt 11.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$10 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$10 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Schritt 11.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 15 u + 44 = 0$

Schritt 11.7

Faktorisiere $u^{2} - 15 u + 44$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $44$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 11, - 4$

Schritt 11.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (u - 11) (u - 4) = 0$

Schritt 11.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 11.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 11.10

Faktorisiere.

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Schritt 11.10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 11.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 11.11

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 11.11.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $10 x (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 11.11.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11) = 0$

Schritt 11.11.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Schritt 11.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Schritt 11.13

Faktorisiere $10 u + u^{2} - 11$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 11$ und deren Summe $10$ ist.

$- 1, 11$

Schritt 11.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Schritt 11.14

Faktorisiere.

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Schritt 11.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Schritt 11.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 11 = 0$

Schritt 13

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 14

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 15

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 15.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 16

Setze $x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x + 11$ gleich $0$ .

$x + 11 = 0$

Schritt 16.2

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 11$

Schritt 17

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, 1, - 11$

Schritt 18