Elementarmathematik Beispiele

$r (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x^{2} + x}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{x^{2} + x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x + x = 0$

Schritt 2.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$x (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, - 1}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup [18, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y < 2, y \geq 18}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty), {x | x \neq 0, - 1}$

Wertebereich: $(- \infty, 2) \cup [18, \infty), {y | y < 2, y \geq 18}$

Schritt 6