Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$

Schritt 1

Setze $9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$ gleich $0$ .

$9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$28 x^{3} + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $28 x$ aus $28 x^{3} + 140 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $28 x$ aus $28 x^{3}$ heraus.

$28 x (x^{2}) + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $28 x$ aus $140 x$ heraus.

$28 x (x^{2}) + 28 x (5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $28 x$ aus $28 x (x^{2}) + 28 x (5)$ heraus.

$28 x (x^{2} + 5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{4} + 48 x^{2} + 15$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 48 x^{2} + 15 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 15 = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2})$ heraus.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5)$ heraus.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 {(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.1.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 u + 5) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

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Schritt 2.1.6.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 u$ heraus.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 (u) + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Schreibe $16$ um als $1$ plus $15$

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + (1 + 15) u + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 1 u + 15 u + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + u + 15 u + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u^{2} + u) + 15 u + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (u (3 u + 1) + 5 (3 u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u + 1) (u + 5)) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.7.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $28 x (x^{2} + 5)$ heraus.

$(x^{2} + 5) (28 x) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ heraus.

$(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1))$ heraus.

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.12

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.13.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.13.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ und deren Summe gleich $b = 28$ ist.

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Schritt 2.1.13.1.1.1

Faktorisiere $28$ aus $28 x$ heraus.

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 (x) + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.1.1.2

Schreibe $28$ um als $1$ plus $27$

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + (1 + 27) x + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 1 x + 27 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + x + 27 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.13.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 5) ((9 x^{2} + x) + 27 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.13.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 5) (x (9 x + 1) + 3 (9 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.13.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) ((9 x + 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 5$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 2.4

Setze $9 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $9 x + 1$ gleich $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $9 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{9}$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, - \frac{1}{9}, - 3$

Schritt 3