Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ um.

$x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 13 u - 48 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u^{2} + 13 u - 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 48$ und deren Summe $13$ ist.

$- 3, 16$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u + 16) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 16 = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 1.2.6

Setze $u + 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $u + 16$ gleich $0$ .

$u + 16 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 16$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 3) (u + 16) = 0$ wahr machen.

$u = 3, - 16$

Schritt 1.2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Schritt 1.2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 3$

Schritt 1.2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 1.2.10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 1.2.10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 1.2.10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 1.2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Schritt 1.2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 16$

Schritt 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Schritt 1.2.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Schritt 1.2.12.3.1

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Schritt 1.2.12.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Schritt 1.2.12.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Schritt 1.2.12.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Schritt 1.2.12.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 4$

Schritt 1.2.12.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i$

Schritt 1.2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i$

Schritt 1.2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i$

Schritt 1.2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i, - 4 i$

Schritt 1.2.13

Die Lösung von $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ ist $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} + 13 \cdot 0^{2} - 48$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 13 {(0)}^{2} - 48$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 13 \cdot 0 - 48$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 48$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 48$

Schritt 2.2.4.2.2

Subtrahiere $48$ von $0$ .

$y = - 48$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 48)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 48)$

Schritt 4