Elementarmathematik Beispiele

$\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \geq - 1$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x = - (1 - x^{2})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $- (1 - x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x = - 1 - - x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3

Multipliziere $- - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x = - 1 + 1 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$2 x = - 1 + x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4

Stelle $- 1$ und $x^{2}$ um.

$2 x = x^{2} - 1$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.4

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.6.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.6.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 2.3.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Schritt 2.3.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Schritt 2.3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 2.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 2.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 2.4.2.2

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 2.4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4.2.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 2.4.2.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 2.4.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 2.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1$

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 4)}{1 - {(- 4)}^{2}} \geq - 1$

Schritt 2.6.1.3

Die linke Seite $0.5\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.71$

Schritt 2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.71$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 0.71)}{1 - {(- 0.71)}^{2}} \geq - 1$

Schritt 2.6.2.3

Die linke Seite $- 2.86348054$ ist kleiner als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $1 - \sqrt{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 - \sqrt{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \geq - 1$

Schritt 2.6.3.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.6.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.6.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (2)}{1 - {(2)}^{2}} \geq - 1$

Schritt 2.6.4.3

Die linke Seite $- 1.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.6.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 1 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.6.5.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (5)}{1 - {(5)}^{2}} \geq - 1$

Schritt 2.6.5.3

Die linke Seite $- 0.41\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.6.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Falsch

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Wahr

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{2}$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Falsch

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Wahr

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{2}$ Wahr

Schritt 2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $1 - \sqrt{2} \leq x < 1$ oder $x \geq 1 + \sqrt{2}$

Schritt 3

Setze das Argument in $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \leq 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x = 1 (1 - x^{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $1 (1 - x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $1 - x^{2}$ mit $1$ .

$2 x = 1 - x^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Stelle $1$ und $- x^{2}$ um.

$2 x = - x^{2} + 1$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + x^{2} = 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4.3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.7.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.7.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 4.3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1$ .

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Schritt 4.4.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 4.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 4.4.2.2

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 4.4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.4.2.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 4.4.2.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 4.4.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.4.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.4.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.4.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 4.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 4.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 4.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1 - \sqrt{2}$

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 4.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1 - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1 - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 4.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 5)}{1 - {(- 5)}^{2}} \leq 1$

Schritt 4.6.1.3

Die linke Seite $0.41\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 2)}{1 - {(- 2)}^{2}} \leq 1$

Schritt 4.6.2.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.6.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.6.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \leq 1$

Schritt 4.6.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.6.4

Teste einen Wert im Intervall $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.71$

Schritt 4.6.4.2

Ersetze $x$ durch $0.71$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0.71)}{1 - {(0.71)}^{2}} \leq 1$

Schritt 4.6.4.3

Die linke Seite $2.86348054$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.6.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.6.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.6.5.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (4)}{1 - {(4)}^{2}} \leq 1$

Schritt 4.6.5.3

Die linke Seite $- 0.5\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.6.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Wahr

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Wahr

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Wahr

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Wahr

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 4.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 1 - \sqrt{2}$ oder $- 1 < x \leq - 1 + \sqrt{2}$ oder $x > 1$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x^{2} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 6.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 6.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 6.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1 - \sqrt{2}] \cup [1 - \sqrt{2}, - 1 + \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2} \leq x \leq - 1 + \sqrt{2}, x \geq 1 + \sqrt{2}}$

Schritt 8