Elementarmathematik Beispiele

${(- 1 + \sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 + 3 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.5

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} i$ an.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{1} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.7

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 \cdot - 1) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.8

Multipliziere $- 3 (3 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 \cdot - 3 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Schritt 2.1.9

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} i$ an.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {\sqrt{3}}^{3} i^{3}$

Schritt 2.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{3}} i^{3}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{27} i^{3}$

Schritt 2.1.12

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{9 (3)} i^{3}$

Schritt 2.1.12.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}$

Schritt 2.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} i^{3}$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)$

Schritt 2.1.15

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)$

Schritt 2.1.16

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- i)$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 - 3 \sqrt{3} i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Addiere $- 1$ und $9$ .

$3 \sqrt{3} i + 8 - 3 \sqrt{3} i$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt{3} i$ von $3 \sqrt{3} i$ .

$0 + 8$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $8$ .

$8$