Elementarmathematik Beispiele

$\frac{7}{y + 1} > 7$

Schritt 1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{7}{y + 1} - 7 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{7}{y + 1} - 7$ .

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Schritt 2.1

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} - 7 \cdot \frac{y + 1}{y + 1} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} + \frac{- 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $7$ aus $7 - 7 (y + 1)$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 (1) - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7 (y + 1)$ heraus.

$\frac{7 (1) + 7 (- (y + 1))}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (1) + 7 (- (y + 1))$ heraus.

$\frac{7 (1 - (y + 1))}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (1 - y - 1 \cdot 1)}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{7 (1 - y - 1)}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{7 (- y + 0)}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.5

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{7 \cdot - 1 y}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (7 y)}{y + 1} > 0$

Schritt 2.4.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 7 y}{y + 1} > 0$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 y}{y + 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$- 7 y = 0$

$y + 1 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = 0$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = 0$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{- 7}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 7$ .

$y = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$y = 0$

$y = - 1$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$y = 0, - 1$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{7 y}{y + 1}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{7 y}{y + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < - 1$

$- 1 < y < 0$

$y > 0$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $y < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $y$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7}{(- 4) + 1} > 7$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 2.\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < y < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < y < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 0.5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $y$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7}{(- 0.5) + 1} > 7$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $14$ ist größer als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $y > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 2$

Schritt 10.3.2

Ersetze $y$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{7}{(2) + 1} > 7$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $2.\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < - 1$ Falsch

$- 1 < y < 0$ Wahr

$y > 0$ Falsch

$y < - 1$ Falsch

$- 1 < y < 0$ Wahr

$y > 0$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < y < 0$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 1 < y < 0$

Intervallschreibweise:

$(- 1, 0)$

Schritt 13