Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}} < 11$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}}}^{2} < 11^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}}$ als ${(2 x + 5)}^{\frac{2}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 5)}^{\frac{2}{2}})}^{2} < 11^{2}$

Schritt 2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

${({(2 x + 5)}^{1})}^{2} < 11^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 5)}^{1})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{1 \cdot 2} < 11^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

${(2 x + 5)}^{2} < 11^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

${(2 x + 5)}^{2} < 121$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{{(2 x + 5)}^{2}} < \sqrt{121}$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 2 x + 5 | < \sqrt{121}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{121}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$| 2 x + 5 | < \sqrt{11^{2}}$

Schritt 3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 2 x + 5 | < | 11 |$

Schritt 3.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $11$ ist $11$ .

$| 2 x + 5 | < 11$

Schritt 3.3

Schreibe $| 2 x + 5 | < 11$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 3.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$2 x + 5 \geq 0$

Schritt 3.3.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq - 5$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{5}{2}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $2 x + 5$ nicht negativ ist.

$2 x + 5 < 11$

Schritt 3.3.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$2 x + 5 < 0$

Schritt 3.3.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 3.3.5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < - 5$

Schritt 3.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{5}{2}$

Schritt 3.3.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $2 x + 5$ negativ ist.

$- (2 x + 5) < 11$

Schritt 3.3.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - (2 x + 5) < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache $- (2 x + 5) < 11$ .

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Schritt 3.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - (2 x) - 1 \cdot 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 3.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - 2 x - 1 \cdot 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

${\begin{cases} 2 x + 5 < 11 & x \geq - \frac{5}{2} \\ - 2 x - 5 < 11 & x < - \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 3.4

Löse $2 x + 5 < 11$ , wenn $x \geq - \frac{5}{2}$ ergibt.

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Schritt 3.4.1

Löse $2 x + 5 < 11$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.4.1.1.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < 11 - 5$

Schritt 3.4.1.1.2

Subtrahiere $5$ von $11$ .

$2 x < 6$

Schritt 3.4.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 6$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

Schritt 3.4.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{6}{2}$

Schritt 3.4.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{6}{2}$

Schritt 3.4.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1.2.3.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x < 3$

Schritt 3.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 3$ und $x \geq - \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2} \leq x < 3$

Schritt 3.5

Löse $- 2 x - 5 < 11$ , wenn $x < - \frac{5}{2}$ ergibt.

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Schritt 3.5.1

Löse $- 2 x - 5 < 11$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.5.1.1.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x < 11 + 5$

Schritt 3.5.1.1.2

Addiere $11$ und $5$ .

$- 2 x < 16$

Schritt 3.5.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x < 16$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x < 16$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{16}{- 2}$

Schritt 3.5.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.5.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{16}{- 2}$

Schritt 3.5.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{16}{- 2}$

Schritt 3.5.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.1.2.3.1

Dividiere $16$ durch $- 2$ .

$x > - 8$

Schritt 3.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 8$ und $x < - \frac{5}{2}$ .

$- 8 < x < - \frac{5}{2}$

Schritt 3.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 8 < x < 3$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 8 < x < 3$

Intervallschreibweise:

$(- 8, 3)$

Schritt 5