Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x) = \cos (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (\frac{π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3} - x)$

Schritt 3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (\frac{π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4.1.6

Da $\cos (- x)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- x)$ als $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4.1.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Schritt 4.1.8

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (- x)$

Schritt 4.1.9

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (- \sin (x))$

Schritt 4.1.10

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{2} (- \sin (x))$ .

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Schritt 4.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x)$

Schritt 4.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x)$

Schritt 4.1.10.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) - \sin (x) \sqrt{3} + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) - \sin (x) \sqrt{3} + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- \sin (x) \sqrt{3}$ und $\sqrt{3} \sin (x)$ neu an.

$\frac{\cos (x) - \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- \sqrt{3} \sin (x)$ und $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) + 0 + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.3.3

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

Schritt 4.4

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Schritt 4.5.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x) = \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung