Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}})$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{e^{2}} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt[3]{e^{2}}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1 + 2}})$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}})$

Schritt 2.5

Schreibe ${\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}$ als $e^{2}$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{e^{2}}$ als $e^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{(e^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{6}{3}}})$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Schritt 2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Schritt 2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{1}}})$

Schritt 2.5.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{2}})$

Schritt 3

Bringe $e^{2}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$

Schritt 4

Schreibe $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$ als $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$ um.

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$

Schritt 5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \ln (e)$

Schritt 6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \cdot 1$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2$

Schritt 8

Zerlege $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Dezimalform:

$- 0.\overline{6}$