Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

Schritt 3.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.2.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

Schritt 3.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

Schritt 3.2.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ .

$0$