Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{i = 1}^{8} {0.8}^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{0.8}^{i + 1}}{{0.8}^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${0.8}^{i + 1}$ und ${0.8}^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${0.8}^{i}$ aus ${0.8}^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{{0.8}^{i} \cdot 0.8}{{0.8}^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{0.8}^{i} \cdot 0.8}{{0.8}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{0.8}^{i} \cdot 0.8}{{0.8}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{0.8}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $0.8$ durch $1$ .

$r = 0.8$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in ${0.8}^{i}$ ein.

$a = {0.8}^{1}$

Schritt 3.2

Berechne den Exponenten.

$a = 0.8$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$0.8 \frac{1 - {0.8}^{8}}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $0.8$ mit $8$ .

$0.8 \frac{1 - 1 \cdot 0.16777216}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.16777216$ .

$0.8 \frac{1 - 0.16777216}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $0.16777216$ von $1$ .

$0.8 \frac{0.83222784}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.8$ .

$0.8 \frac{0.83222784}{1 - 0.8}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $0.8$ von $1$ .

$0.8 (\frac{0.83222784}{0.2})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.2$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $0.2$ aus $0.8$ heraus.

$0.2 (4) \frac{0.83222784}{0.2}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.2 \cdot 4 \frac{0.83222784}{0.2}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 0.83222784$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $0.83222784$ .

$3.32891136$