Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ und ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ aus ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.1.2.4

Dividiere ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Schritt 2.2.2

Addiere $n$ und $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$r = \frac{1}{5}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $n$ in ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ ein.

$a = {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = {(\frac{1}{5})}^{0}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$a = \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = \frac{1}{5^{0}}$

Schritt 3.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$a = 1$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ mit $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Schritt 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Schritt 5.2.2

Kombinieren.

$\frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\frac{5 + 5 (- \frac{1^{8}}{5^{8}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{8}}{5^{8}}$ in den Zähler.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5^{8}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5^{8}$ heraus.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + \frac{- 1^{8}}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.5

Potenziere $5$ mit $7$ .

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5 + \frac{- 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.8

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{5 \cdot \frac{78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.9

Kombiniere $5$ und $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5 \cdot 78125 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $78125$ .

$\frac{\frac{390625 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.11.2

Subtrahiere $1$ von $390625$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 - 1}$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{4}$

Schritt 5.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{390624}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $4$ aus $390624$ heraus.

$\frac{4 (97656)}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 97656}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{97656}{78125}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{97656}{78125}$

Dezimalform:

$1.2499968$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{19531}{78125}$