Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{3}{7})}^{k}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

${(- \frac{3}{7})}^{1} + {(- \frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache.

$- \frac{3}{7} + {(- \frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{7}$ an.

$- \frac{3}{7} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{7}$ an.

$- \frac{3}{7} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3}{7} + 1 \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{7^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{7}$ an.

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{7}$ an.

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{3^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.10

Potenziere $7$ mit $3$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.11

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.11.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{7}$ an.

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{7})}^{4}$

Schritt 2.1.11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{7}$ an.

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{7^{4}}$

Schritt 2.1.12

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + 1 \frac{3^{4}}{7^{4}}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $\frac{3^{4}}{7^{4}}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{3^{4}}{7^{4}}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{7^{4}}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $7$ mit $4$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $\frac{343}{343}$ .

$- (\frac{3}{7} \cdot \frac{343}{343}) + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $\frac{343}{343}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{9}{49}$ mit $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9}{49} \cdot \frac{49}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{9}{49}$ mit $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{27}{343}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - (\frac{27}{343} \cdot \frac{7}{7}) + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{27}{343}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $7$ mit $343$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $49$ mit $49$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $343 \cdot 7$ um.

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{7 \cdot 343} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $7$ mit $343$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{2401} + \frac{81}{2401}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 \cdot 343 + 9 \cdot 49 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $343$ .

$\frac{- 1029 + 9 \cdot 49 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $49$ .

$\frac{- 1029 + 441 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 27$ mit $7$ .

$\frac{- 1029 + 441 - 189 + 81}{2401}$

Schritt 2.5

Addiere $- 1029$ und $441$ .

$\frac{- 588 - 189 + 81}{2401}$

Schritt 2.6

Subtrahiere $189$ von $- 588$ .

$\frac{- 777 + 81}{2401}$

Schritt 2.7

Addiere $- 777$ und $81$ .

$\frac{- 696}{2401}$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{696}{2401}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{696}{2401}$

Dezimalform:

$- 0.28987921 \dots$