Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 0}^{8} \frac{1}{6^{n}}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{6^{n + 1}}$ und $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6^{n}$ und $6^{n + 1}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $6^{n + 1}$ aus $6^{n}$ heraus.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Schritt 2.2.3.2.4

Dividiere $6^{n - (n + 1)}$ durch $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Schritt 2.2.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Schritt 2.2.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $n$ in $\frac{1}{6^{n}}$ ein.

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$a = 1$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ mit $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Schritt 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

Schritt 5.2.2

Kombinieren.

$\frac{6 (1 - {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 (1 - \frac{1}{6})}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{6}$ an.

$\frac{6 + 6 (- \frac{1^{9}}{6^{9}})}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1^{9}}{6^{9}}$ in den Zähler.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6^{9}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $6$ aus $6^{9}$ heraus.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 + \frac{- 1^{9}}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.5

Potenziere $6$ mit $8$ .

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 + \frac{- 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6 - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.8

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{6 \cdot \frac{1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.9

Kombiniere $6$ und $\frac{1679616}{1679616}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.11.1

Mutltipliziere $6$ mit $1679616$ .

$\frac{\frac{10077696 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.5.11.2

Subtrahiere $1$ von $10077696$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 - 1}$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{5}$

Schritt 5.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{10077695}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $5$ aus $10077695$ heraus.

$\frac{5 (2015539)}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 2015539}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2015539}{1679616}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2015539}{1679616}$

Dezimalform:

$1.19999988 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{335923}{1679616}$