Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{3}{4})}^{n}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

${(\frac{3}{4})}^{1} + {(\frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache.

$\frac{3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{4^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{4^{3}} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2.1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 2.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Schritt 2.1.9

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{4^{4}}$

Schritt 2.1.10

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{9}{16}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{9}{16}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{27}{64}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27}{64} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{27}{64}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $64 \cdot 4$ um.

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 64} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{256} + \frac{81}{256}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 64 + 9 \cdot 16 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\frac{192 + 9 \cdot 16 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$\frac{192 + 144 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$\frac{192 + 144 + 108 + 81}{256}$

Schritt 2.5

Addiere $192$ und $144$ .

$\frac{336 + 108 + 81}{256}$

Schritt 2.6

Addiere $336$ und $108$ .

$\frac{444 + 81}{256}$

Schritt 2.7

Addiere $444$ und $81$ .

$\frac{525}{256}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{525}{256}$

Dezimalform:

$2.05078125$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{13}{256}$