Elementarmathematik Beispiele

$3 x + 5 y - 8 = 0$ , $(- 8, 1)$

Schritt 1

Löse $3 x + 5 y - 8 = 0$ .

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y - 8 = - 3 x$

Schritt 1.1.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = - 3 x + 8$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y = - 3 x + 8$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = - 3 x + 8$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 3 x}{5} + \frac{8}{5}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 3 x}{5} + \frac{8}{5}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3 x}{5} + \frac{8}{5}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{8}{5}$

Schritt 2

Ermittle die Steigung für $y = - \frac{3 x}{5} + \frac{8}{5}$ .

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.1.2.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{5} x) + \frac{8}{5}$

Schritt 2.1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{5} x + \frac{8}{5}$

Schritt 2.2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- \frac{3}{5}$ .

$m = - \frac{3}{5}$

Schritt 3

Die Gleichung für die senkrechte Gerade muss eine Steigung haben, die gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung ist.

$m_{senkrecht} = - \frac{1}{- \frac{3}{5}}$

Schritt 4

Vereinfache $- \frac{1}{- \frac{3}{5}}$ , um die Steigung der senkrechten Geraden zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$m_{senkrecht} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{3}{5}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m_{senkrecht} = \frac{1}{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$m_{senkrecht} = 1 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

$m_{senkrecht} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- - \frac{5}{3}$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m_{senkrecht} = 1 (\frac{5}{3})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

$m_{senkrecht} = \frac{5}{3}$

Schritt 5

Ermittle die Gleichung der Senkrechten durch Anwendung der Punkt-Steigungs-Form.

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Schritt 5.1

Benutze die Steigung $\frac{5}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(- 8, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = \frac{5}{3} \cdot (x - (- 8))$

Schritt 5.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = \frac{5}{3} \cdot (x + 8)$

Schritt 6

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 6.1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot (x + 8)$ .

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Schritt 6.1.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot (x + 8)$

Schritt 6.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = \frac{5}{3} \cdot (x + 8)$

Schritt 6.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot 8$

Schritt 6.1.1.4

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$y - 1 = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot 8$

Schritt 6.1.1.5

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot 8$ .

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Schritt 6.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $8$ .

$y - 1 = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot 8}{3}$

Schritt 6.1.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$y - 1 = \frac{5 x}{3} + \frac{40}{3}$

Schritt 6.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{40}{3} + 1$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{40}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 6.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{40 + 3}{3}$

Schritt 6.1.2.4

Addiere $40$ und $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{43}{3}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{43}{3}$

Schritt 7