Elementarmathematik Beispiele

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x - 2224 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Addiere $2224$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $36 y^{2} - 144 y$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 36$

$b = - 144$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 144}{2 \cdot 36}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 144$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 144$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 36$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 (36)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 72}{36}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 72$ und $36$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $36$ aus $- 72$ heraus.

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 144)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 144$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{20736}{4 \cdot 36}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$e = 0 - \frac{20736}{144}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $20736$ durch $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$e = 0 - 144$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $144$ von $0$ .

$e = - 144$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ ein.

$36 {(y - 2)}^{2} - 144$

Schritt 1.3

Setze $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ für $36 y^{2} - 144 y$ ein in der Gleichung $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144 - 64 x^{2} - 128 x = 2224$

Schritt 1.4

Bringe $- 144$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $144$ auf beiden Seiten.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 x^{2} - 128 x = 2224 + 144$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 64 x^{2} - 128 x$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 64$

$b = - 128$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 128}{2 \cdot - 64}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 128$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 128$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 64$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 (- 64)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 64$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 128)}^{2}}{4 \cdot - 64}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 128$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot - 64}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 64$ .

$e = 0 - \frac{16384}{- 256}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $16384$ durch $- 256$ .

$e = 0 - - 64$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $64$ .

$e = 64$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ ein.

$- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$

Schritt 1.6

Setze $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ für $- 64 x^{2} - 128 x$ ein in der Gleichung $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} + 64 = 2224 + 144$

Schritt 1.7

Bringe $64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2224 + 144 - 64$

Schritt 1.8

Vereinfache $2224 + 144 - 64$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $2224$ und $144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2368 - 64$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $64$ von $2368$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2304$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $2304$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{36 {(y - 2)}^{2}}{2304} - \frac{64 {(x + 1)}^{2}}{2304} = \frac{2304}{2304}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{64} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{36} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 8$

$b = 6$

$k = 2$

$h = - 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 1, 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + {(6)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + 36}$

Schritt 5.3.3

Addiere $64$ und $36$ .

$\sqrt{100}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\sqrt{10^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$10$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 10)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, - 6)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, 12)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, - 8)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $64$ und $36$ .

$\frac{\sqrt{100}}{8}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{10}{8}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $8$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 (5)}{8}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{6^{2}}{10}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{36}{10}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $10$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{2 (18)}{10}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{5}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Schritt 11.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $4$ und $6$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Schritt 12.2.1.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Schritt 12.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Schritt 12.2.5.2

Addiere $- 4$ und $6$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 1, 2)$

Scheitelpunkte: $(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Brennpunkte: $(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Exzentrizität: $\frac{5}{4}$

Fokaler Parameter: $\frac{18}{5}$

Asymptoten: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 15