Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 4 y + 6 x - 8 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y + 6 x - 8 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x - 8 = - y^{2} + 4 y$

Schritt 1.1.1.3

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - y^{2} + 4 y + 8$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 (3)} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 3} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{8}{6}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 (4)}{6}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{6}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{- \frac{1}{6}}$ .

$d = \frac{1}{3 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = \frac{1}{- 3 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.3.2.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{1}{\frac{- 3}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

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Schritt 1.2.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{3 (- 1)}{6}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 (\frac{2}{- 1})$

Schritt 1.2.3.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{- 1}$ mit $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.9

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.4.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{4}{3} - - \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.10

Multipliziere $- - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

Schritt 1.2.4.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$e = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{4 + 2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$e = \frac{6}{3}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $6$ durch $3$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$ ein.

$- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{6} \cdot {(y - 2)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 2$

$k = 2$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 2)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{2}, 2)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(2, 2)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = \frac{7}{2}$

Schritt 10