Elementarmathematik Beispiele

$- 2 y^{2} + x - 4 y + 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Addiere $2 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 4 y + 1 = 2 y^{2}$

Schritt 1.1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 = 2 y^{2} + 4 y$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 y^{2} + 4 y - 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y^{2} + 4 y - 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 4$

$c = - 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (2)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 1 - \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 1 - \frac{2}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 1 - 2$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$e = - 3$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(y + 1)}^{2} - 3$ ein.

$2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = 2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 1$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, - 1)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{23}{8}, - 1)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 1$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{25}{8}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 3, - 1)$

Brennpunkt: $(- \frac{23}{8}, - 1)$

Symmetrieachse: $y = - 1$

Leitlinie: $x = - \frac{25}{8}$

Schritt 10