Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{121} + \frac{{(y - 8)}^{2}}{196} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 14$

$b = 11$

$k = 8$

$h = - 4$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 4, 8)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\sqrt{196 - {(11)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\sqrt{196 - 1 \cdot 121}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $121$ .

$\sqrt{196 - 121}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $121$ von $196$ .

$\sqrt{75}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$\sqrt{25 (3)}$

Schritt 5.3.5.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$5 \sqrt{3}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 4, 8 + 14)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(- 4, 22)$

Schritt 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 4, 8 - (14))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(- 4, - 6)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(- 4, 8 - (5 \sqrt{3}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(14)}^{2} - {(11)}^{2}}}{14}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 11^{2}}}{14}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{196 - 1 \cdot 121}}{14}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $121$ .

$\frac{\sqrt{196 - 121}}{14}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $121$ von $196$ .

$\frac{\sqrt{75}}{14}$

Schritt 8.3.5

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.3.5.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{14}$

Schritt 8.3.5.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{14}$

Schritt 8.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(- 4, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 4, 22)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(- 4, 8 + 5 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 8 - 5 \sqrt{3})$

Exzentrizität: $\frac{5 \sqrt{3}}{14}$

Schritt 10