Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(3, - 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Schritt 5.3.3

Addiere $16$ und $9$ .

$\sqrt{25}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$5$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, 2)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 6)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(3, 2), (3, - 6)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, 3)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, - 7)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(3, 3), (3, - 7)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Schritt 8.3.3

Addiere $16$ und $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{4}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{3^{2}}{5}$

Schritt 9.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9}{5}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Schritt 11.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Schritt 11.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 2$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 2$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 6$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

Schritt 12.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 2$

Schritt 12.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

Schritt 12.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

Schritt 12.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 2$

Schritt 12.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 2$

Schritt 12.2.1.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 2$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{4 x}{3} - 6, y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(3, - 2)$

Scheitelpunkte: $(3, 2), (3, - 6)$

Brennpunkte: $(3, 3), (3, - 7)$

Exzentrizität: $\frac{5}{4}$

Fokaler Parameter: $\frac{9}{5}$

Asymptoten: $y = \frac{4 x}{3} - 6$ , $y = - \frac{4 x}{3} + 2$

Schritt 15