Elementarmathematik Beispiele

$(5, \frac{5 π}{3})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(5)}^{2} + {(\frac{5 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + {(\frac{5 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 π}{3}$ an.

$r = \sqrt{25 + \frac{{(5 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $5 π$ an.

$r = \sqrt{25 + \frac{5^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 + \frac{5^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + \frac{25 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + \frac{25 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{25 \cdot \frac{9}{9} + \frac{25 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Kombiniere $25$ und $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9}{9} + \frac{25 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 9 + 25 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Faktorisiere $25$ aus $25 \cdot 9 + 25 π^{2}$ heraus.

$r = \sqrt{\frac{25 (9 + π^{2})}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{25 (9 + π^{2})}{9}}$ als $\frac{\sqrt{25 (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{25 (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Schreibe $25 (9 + π^{2})$ als $5^{2} (3^{2} + π^{2})$ um.

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Schritt 3.10.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{5^{2} (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{5^{2} (3^{2} + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{5^{2} (3^{2} + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{5 \sqrt{3^{2} + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.11.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{5 π}{3}}{5})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{π}{3}$ ist $θ = 46.32070377 °$ .

$r = \frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = 46.32070377 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{5 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}, 46.32070377 °)$