Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} + 6 y - 2 x + 13 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y - 2 x + 13 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x + 13 = - y^{2} - 6 y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - y^{2} - 6 y - 13$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (1)} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 1} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{3 y}{1} + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $3 y$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{13}{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{13}{2}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{13}{2} - \frac{3^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = \frac{13}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{13 - 9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $9$ von $13$ .

$e = \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$ ein.

$\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 3)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 3$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 3)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 3$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(2, - 3)$

Brennpunkt: $(\frac{5}{2}, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = \frac{3}{2}$

Schritt 10