Elementarmathematik Beispiele

$7 x^{2} + x + 7 y^{2} + 7 y - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{2} + x + 7 y^{2} + 7 y = 1$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $7$ .

$x^{2} + \frac{x}{7} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + \frac{x}{7}$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = \frac{1}{7}$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{7 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{14}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{7})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{7}$ an.

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{7^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{7^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{49}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{49}}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{1}{49} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 3.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{1}{49} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{49}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{49 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $49$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{196}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{196}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{196}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196}$ ein.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196}$

Schritt 4

Setze ${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196}$ für $x^{2} + \frac{x}{7}$ ein in der Gleichung $x^{2} + \frac{x}{7} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{196} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$

Schritt 5

Bringe $- \frac{1}{196}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{196}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + y^{2} + y = \frac{1}{7} + \frac{1}{196}$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 7

Setze ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $y^{2} + y$ ein in der Gleichung $x^{2} + \frac{x}{7} + y^{2} + y = \frac{1}{7}$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{7} + \frac{1}{196}$

Schritt 8

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{7} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$

Schritt 9

Vereinfache $\frac{1}{7} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 9.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{28}{28}$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{7} \cdot \frac{28}{28} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{28}{28}$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{7 \cdot 28} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{49}{49}$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{7 \cdot 28} + \frac{1}{196} + \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{49}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{49}{49}$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{7 \cdot 28} + \frac{1}{196} + \frac{49}{4 \cdot 49}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $28$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{196} + \frac{1}{196} + \frac{49}{4 \cdot 49}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $49$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28}{196} + \frac{1}{196} + \frac{49}{196}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{28 + 1 + 49}{196}$

Schritt 9.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 9.3.1

Addiere $28$ und $1$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{29 + 49}{196}$

Schritt 9.3.2

Addiere $29$ und $49$ .

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{78}{196}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $78$ und $196$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $78$ heraus.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 (39)}{196}$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $196$ heraus.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 98}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 98}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x + \frac{1}{14})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{39}{98}$

Schritt 10

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 11

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{78}}{14}$

$h = - \frac{1}{14}$

$k = - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{2})$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{2})$

Radius: $\frac{\sqrt{78}}{14}$

Schritt 14