Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{3 x} + x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 x} = - x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$3 x = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$3 x = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$3 x = 1 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$3 x = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $u$ aus $3 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $3 u$ heraus.

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 3 + u (- u)$ heraus.

$u (3 - u) = 0$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.5

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{3 x} + x = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$