Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{i = 1}^{11} 5 \cdot 2^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{5 \cdot 2^{i + 1}}{5 \cdot 2^{i}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{i + 1}$ und $2^{i}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2^{i}$ aus $2^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in $5 \cdot 2^{i}$ ein.

$a = 5 \cdot 2^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne den Exponenten.

$a = 5 \cdot 2$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$a = 10$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$10 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $11$ .

$10 \frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2048$ .

$10 \frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $2048$ von $1$ .

$10 \frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 \frac{- 2047}{1 - 2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$10 (\frac{- 2047}{- 1})$

Schritt 5.3

Dividiere $- 2047$ durch $- 1$ .

$10 \cdot 2047$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $10$ mit $2047$ .

$20470$