Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{16 + x} + \sqrt{16 - x} = 8$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{16 - x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{16 + x} = 8 - \sqrt{16 - x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{16 + x}}^{2} = {(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 + x}$ als ${(16 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(16 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(16 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(16 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(16 + x)}^{1} = {(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$16 + x = {(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(8 - \sqrt{16 - x})}^{2}$ als $(8 - \sqrt{16 - x}) (8 - \sqrt{16 - x})$ um.

$16 + x = (8 - \sqrt{16 - x}) (8 - \sqrt{16 - x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(8 - \sqrt{16 - x}) (8 - \sqrt{16 - x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 + x = 8 (8 - \sqrt{16 - x}) - \sqrt{16 - x} (8 - \sqrt{16 - x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 + x = 8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{16 - x}) - \sqrt{16 - x} (8 - \sqrt{16 - x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 + x = 8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{16 - x}) - \sqrt{16 - x} \cdot 8 - \sqrt{16 - x} (- \sqrt{16 - x})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$16 + x = 64 + 8 (- \sqrt{16 - x}) - \sqrt{16 - x} \cdot 8 - \sqrt{16 - x} (- \sqrt{16 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - \sqrt{16 - x} \cdot 8 - \sqrt{16 - x} (- \sqrt{16 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} - \sqrt{16 - x} (- \sqrt{16 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{16 - x} (- \sqrt{16 - x})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + 1 \sqrt{16 - x} \sqrt{16 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{16 - x}$ mit $1$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + \sqrt{16 - x} \sqrt{16 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{16 - x}$ mit $1$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {\sqrt{16 - x}}^{1} \sqrt{16 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{16 - x}$ mit $1$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {\sqrt{16 - x}}^{1} {\sqrt{16 - x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {\sqrt{16 - x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {\sqrt{16 - x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{16 - x}}^{2}$ als $16 - x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - x}$ als ${(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {({(16 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {(16 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {(16 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {(16 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + {(16 - x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$16 + x = 64 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} + 16 - x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $64$ und $16$ .

$16 + x = 80 - 8 \sqrt{16 - x} - 8 \sqrt{16 - x} - x$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $8 \sqrt{16 - x}$ von $- 8 \sqrt{16 - x}$ .

$16 + x = 80 - 16 \sqrt{16 - x} - x$

Schritt 4

Löse nach $- 16 \sqrt{16 - x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $80 - 16 \sqrt{16 - x} - x = 16 + x$ um.

$80 - 16 \sqrt{16 - x} - x = 16 + x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 16 \sqrt{16 - x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $80$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 \sqrt{16 - x} - x = 16 + x - 80$

Schritt 4.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 \sqrt{16 - x} = 16 + x - 80 + x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$- 16 \sqrt{16 - x} = x - 64 + x$

Schritt 4.2.4

Addiere $x$ und $x$ .

$- 16 \sqrt{16 - x} = 2 x - 64$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 16 \sqrt{16 - x})}^{2} = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 - x}$ als ${(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 16 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 16 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 16 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 16)}^{2} {({(16 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$256 {({(16 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 {(16 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$256 {(16 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$256 {(16 - x)}^{1} = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$256 (16 - x) = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$256 \cdot 16 + 256 (- x) = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $256$ mit $16$ .

$4096 + 256 (- x) = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$4096 - 256 x = {(2 x - 64)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x - 64)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 64)}^{2}$ als $(2 x - 64) (2 x - 64)$ um.

$4096 - 256 x = (2 x - 64) (2 x - 64)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 64) (2 x - 64)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4096 - 256 x = 2 x (2 x - 64) - 64 (2 x - 64)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4096 - 256 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 64 - 64 (2 x - 64)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4096 - 256 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 64 - 64 (2 x) - 64 \cdot - 64$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4096 - 256 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 64 - 64 (2 x) - 64 \cdot - 64$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4096 - 256 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 64 - 64 (2 x) - 64 \cdot - 64$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4096 - 256 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 64 - 64 (2 x) - 64 \cdot - 64$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4096 - 256 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 64 - 64 (2 x) - 64 \cdot - 64$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 64$ mit $2$ .

$4096 - 256 x = 4 x^{2} - 128 x - 64 (2 x) - 64 \cdot - 64$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$4096 - 256 x = 4 x^{2} - 128 x - 128 x - 64 \cdot - 64$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 64$ .

$4096 - 256 x = 4 x^{2} - 128 x - 128 x + 4096$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $128 x$ von $- 128 x$ .

$4096 - 256 x = 4 x^{2} - 256 x + 4096$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 256 x + 4096 = 4096 - 256 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $256 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 256 x + 4096 + 256 x = 4096$

Schritt 7.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 256 x + 4096 + 256 x$ .

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 256 x$ und $256 x$ .

$4 x^{2} + 0 + 4096 = 4096$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} + 4096 = 4096$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $4096$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 4096 - 4096$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $4096$ von $4096$ .

$4 x^{2} = 0$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.6

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.6.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.6.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$