Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} + 18 x$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 18 x$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 18$

$c = 0$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{18}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{9}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$d = 9$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{324}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 9)}^{2} - 81$ ein.

${(x + 9)}^{2} - 81$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x + 9)}^{2} - 81$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 9$

$k = - 81$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 9, - 81)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 9, - \frac{323}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 9$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{325}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 9, - 81)$

Brennpunkt: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 9$

Leitlinie: $y = - \frac{325}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 9, - 81)$

Brennpunkt: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 9$

Leitlinie: $y = - \frac{325}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 10$ .

$f (- 10) = {(- 10)}^{2} + 18 (- 10)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$f (- 10) = 100 + 18 (- 10)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 10$ .

$f (- 10) = 100 - 180$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $180$ von $100$ .

$f (- 10) = - 80$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 80$ .

$- 80$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 10$ ist $- 80$ .

$y = - 80$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 11$ .

$f (- 11) = {(- 11)}^{2} + 18 (- 11)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$f (- 11) = 121 + 18 (- 11)$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 11$ .

$f (- 11) = 121 - 198$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $198$ von $121$ .

$f (- 11) = - 77$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $- 77$ .

$- 77$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 11$ ist $- 77$ .

$y = - 77$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = {(- 8)}^{2} + 18 (- 8)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$f (- 8) = 64 + 18 (- 8)$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = 64 - 144$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $144$ von $64$ .

$f (- 8) = - 80$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 80$ .

$- 80$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 8$ ist $- 80$ .

$y = - 80$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f (- 7) = 49 + 18 (- 7)$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 126$

Schritt 2.11.2

Subtrahiere $126$ von $49$ .

$f (- 7) = - 77$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $- 77$ .

$- 77$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 7$ ist $- 77$ .

$y = - 77$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - 77 \\ - 10 & - 80 \\ - 9 & - 81 \\ - 8 & - 80 \\ - 7 & - 77 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 9, - 81)$

Brennpunkt: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 9$

Leitlinie: $y = - \frac{325}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - 77 \\ - 10 & - 80 \\ - 9 & - 81 \\ - 8 & - 80 \\ - 7 & - 77 \end{array}$

Schritt 4