Elementarmathematik Beispiele

$y - 3 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 2$

$k = 3$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 3)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, \frac{13}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 2$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{11}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 3)$

Brennpunkt: $(- 2, \frac{13}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = \frac{11}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 3)$

Brennpunkt: $(- 2, \frac{13}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = \frac{11}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 7$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = 9 + 4 (- 3) + 7$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 12 + 7$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f (- 3) = - 3 + 7$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 3$ und $7$ .

$f (- 3) = 4$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) + 7$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = 16 + 4 (- 4) + 7$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 16 + 7$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$f (- 4) = 0 + 7$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $0$ und $7$ .

$f (- 4) = 7$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $7$ .

$y = 7$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 7$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 + 4 (- 1) + 7$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 4 + 7$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (- 1) = - 3 + 7$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $- 3$ und $7$ .

$f (- 1) = 4$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} + 4 (0) + 7$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0) + 7$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.11.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $0$ und $7$ .

$f (0) = 7$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $7$ .

$7$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $7$ .

$y = 7$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 7 \\ - 3 & 4 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 7 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 3)$

Brennpunkt: $(- 2, \frac{13}{4})$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = \frac{11}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 7 \\ - 3 & 4 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 7 \end{array}$

Schritt 4