Elementarmathematik Beispiele

$x - \frac{1}{8} y^{2} = 0$

Schritt 1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{8}$ .

$x - \frac{y^{2}}{8} = 0$

Schritt 2

Addiere $\frac{y^{2}}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{y^{2}}{8}$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{8}$ an.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{\frac{1}{8}}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 0 \cdot 8$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$d = 0$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{8}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 3.1.1.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (0 \cdot 2)$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5

Multipliziere $- (0 \cdot 2)$ .

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Schritt 3.1.1.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$e = 0 - 0$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 + 0$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$e = 0$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{8} y^{2}$ ein.

$\frac{1}{8} y^{2}$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{8} y^{2}$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 3.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 3.5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 2$

Schritt 3.5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, 0)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 2$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(2, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - 2$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(2, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - 2$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 2.82842712)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 \sqrt{2 (1)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 2.82842712$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, - 2.82842712)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - 2 \sqrt{2 (1)}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $- 2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 2.82842712$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 4)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{2 (2)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{4}$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2) = 2 \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $4$ nach Dezimal.

$= 4$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 x}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, - 4)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{2 (2)}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 2 \sqrt{4}$

Schritt 4.4.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2) = - 2 \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.4.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = - 2 \cdot 2$

Schritt 4.4.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (2) = - 4$

Schritt 4.4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $- 4$ nach Dezimal.

$= - 4$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 2.83 \\ 1 & - 2.83 \\ 2 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(2, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 2.83 \\ 1 & - 2.83 \\ 2 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Schritt 6