Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{13}{2}$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ ein.

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, - 6)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 1$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - 7$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(1, - \frac{13}{2})$

Brennpunkt: $(1, - 6)$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = - 7$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(1, - \frac{13}{2})$

Brennpunkt: $(1, - 6)$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = - 7$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $- (0)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- (0)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{- (0)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Multipliziere $- (0) \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Dividiere $- 12$ durch $2$ .

$f (0) = - 6$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.5.1.1

Schreibe $- (- 1)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $\frac{- (- 1)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $\frac{- (- 1)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.5.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.3.2

Multipliziere $- (- 1) \cdot 2$ .

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Schritt 3.5.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.4.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Schritt 3.5.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.8.1.1

Schreibe $- (2)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $\frac{- (2)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Schritt 3.8.1.3

Mutltipliziere $\frac{- (2)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 3.8.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.8.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.8.3.2

Multipliziere $- (2) \cdot 2$ .

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Schritt 3.8.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.8.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.8.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Schritt 3.8.4.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Schritt 3.8.4.3

Dividiere $- 12$ durch $2$ .

$f (2) = - 6$

Schritt 3.8.5

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.11.1.1

Schreibe $- (4)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $\frac{- (4)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Schritt 3.11.1.3

Mutltipliziere $\frac{- (4)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Schritt 3.11.1.4

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 3.11.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.11.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.3.2

Multipliziere $- (4) \cdot 2$ .

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Schritt 3.11.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Schritt 3.11.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.4.1

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Schritt 3.11.4.2

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.11.4.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$f (4) = - 2$

Schritt 3.11.5

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(1, - \frac{13}{2})$

Brennpunkt: $(1, - 6)$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Schritt 5