Elementarmathematik Beispiele

${(2 x - 3 y)}^{3}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(2 x - 3 y)}^{3}$ gilt $n = 3$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $4$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $2 x$ und $b$ $- 3 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 x)}^{3}$ mit $1$ .

${(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{3} x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$8 x^{3} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot {(- 3)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 3 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 3 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.18

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.19

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.20

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot 9 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(2 x)}^{0}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.24

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere ${(- 3 y)}^{3}$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3 y)}^{3}$

Schritt 4.28

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3)}^{3} y^{3}$

Schritt 4.29

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$