Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} = - \frac{1}{4} x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} x = y^{2}$ um.

$- \frac{1}{4} x = y^{2}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} x) = - 4 y^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{1}{4} x)$ .

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{x}{4}) = - 4 y^{2}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Schritt 3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - 4 y^{2}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - 4 y^{2}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - 4 y^{2}$

Schritt 4

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 4.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 y^{2}$ an.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 4.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (- 4)}$

Schritt 4.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 4$ .

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Schritt 4.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{4 (0)}{- 4}$

Schritt 4.1.1.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Schritt 4.1.1.3.2.3

Schreibe $- 1 \cdot 0$ als $- 0$ um.

$d = - 0$

Schritt 4.1.1.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$d = 0$

Schritt 4.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 16}$

Schritt 4.1.1.4.2.1.3

Dividiere $0$ durch $- 16$ .

$e = 0 - 0$

Schritt 4.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 + 0$

Schritt 4.1.1.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$e = 0$

Schritt 4.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 y^{2}$ ein.

$- 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - 4 y^{2}$

Schritt 4.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 4.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Schritt 4.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Schritt 4.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{16}$

Schritt 4.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 4.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 4.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{1}{16}, 0)$

Schritt 4.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 4.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 4.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 4.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{1}{16}$

Schritt 4.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{1}{16}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{1}{16}$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = \frac{\sqrt{- x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 0.70710678)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{\sqrt{- (- 2)}}{2}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.3

Konvertiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nach Dezimal.

$= 0.70710678$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{- x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, - 0.70710678)$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{\sqrt{- (- 2)}}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.3

Konvertiere $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach Dezimal.

$= - 0.70710678$

Schritt 5.3

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = \frac{\sqrt{- x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 0.5)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{\sqrt{- (- 1)}}{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{\sqrt{1}}{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3

Konvertiere $\frac{1}{2}$ nach Dezimal.

$= 0.5$

Schritt 5.4

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{- x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, - 0.5)$ .

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Schritt 5.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{- (- 1)}}{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{1}}{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.3

Konvertiere $- \frac{1}{2}$ nach Dezimal.

$= - 0.5$

Schritt 5.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0.71 \\ - 2 & - 0.71 \\ - 1 & 0.5 \\ - 1 & - 0.5 \\ 0 & 0 \end{array}$

Schritt 6

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = \frac{1}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0.71 \\ - 2 & - 0.71 \\ - 1 & 0.5 \\ - 1 & - 0.5 \\ 0 & 0 \end{array}$

Schritt 7