Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x + 4 y - 4 = - y^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x - 4 = - y^{2} - 4 y$

Schritt 1.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 2.3.1.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{4}{- 4}$

Schritt 2.3.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{4} + y - 1$ an.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 2$

Schritt 3.1.1.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = 2$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.1.1.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = - 1 - 1$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$e = - 2$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$ ein.

$\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 2)}^{2} - 2$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 3.5.3.2.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 3.5.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, - 2)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 2$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 3$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - 2)$

Brennpunkt: $(- 1, - 2)$

Symmetrieachse: $y = - 2$

Leitlinie: $x = - 3$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - 2)$

Brennpunkt: $(- 1, - 2)$

Symmetrieachse: $y = - 2$

Leitlinie: $x = - 3$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 0)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$= 0$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, - 4)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Schritt 4.2.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f (- 1) = - 4$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $- 4$ nach Dezimal.

$= - 4$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 0.82842712)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $- 2 + 2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 0.82842712$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, - 4.82842712)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $- 2 - 2 \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 4.82842712$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - 2)$

Brennpunkt: $(- 1, - 2)$

Symmetrieachse: $y = - 2$

Leitlinie: $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Schritt 6