Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y + 4 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 8 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 4)}^{2} - 16$ ein.

${(x + 4)}^{2} - 16$

Schritt 1.3

Setze ${(x + 4)}^{2} - 16$ für $x^{2} + 8 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} - 6 y = - 4$

Schritt 1.4

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

${(x + 4)}^{2} - 3 y^{2} - 6 y = - 4 + 16$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 y^{2} - 6 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- 3)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 12}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 12$ .

$e = 0 - - 3$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$e = 0 + 3$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$e = 3$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ ein.

$- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$

Schritt 1.6

Setze $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ für $- 3 y^{2} - 6 y$ ein in der Gleichung $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} + 3 = - 4 + 16$

Schritt 1.7

Bringe $3$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $3$ auf beiden Seiten.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = - 4 + 16 - 3$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 4 + 16 - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Addiere $- 4$ und $16$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 12 - 3$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $3$ von $12$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 9$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $9$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 4$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 4, - 1)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{9 + 3^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{9 + 3}$

Schritt 5.3.3

Addiere $9$ und $3$ .

$\sqrt{12}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\sqrt{4 (3)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{3}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 1, - 1)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 7, - 1)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{1}}}{3}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{9 + 3}}{3}$

Schritt 8.3.3

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{\sqrt{12}}{3}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{3}$

Schritt 8.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{3}$

Schritt 8.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\sqrt{3}}^{2}$ und $\sqrt{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Faktorisiere $\sqrt{3}$ aus ${\sqrt{3}}^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $\sqrt{3}$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{3} - 1$

Schritt 11.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Schritt 12.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Schritt 12.2.4

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 12.2.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 12.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 4, - 1)$

Scheitelpunkte: $(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Brennpunkte: $(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Exzentrizität: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Fokaler Parameter: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Asymptoten: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 15